量子シミュレーションの基礎:ラビ振動 - hwakのトリビアルな雑記集

今回は、量子シミュレーションを実際にどのようにして行うのか解説します。今回使用する系はラビ振動です。これは最も簡単な時間発展系の一つです。2準位間に遷移双極子モーメントが存在する場合、その準位間に相当する電磁波を照射することで、時間変化する量子重ね合わせが作れるというものです。この現象は量子計算にも利用されます。まずはラビ振動のハミルトニアンとその時間発展を説明します。

ラビ振動:

2準位系を考え、そのハミルトニアンが時間発展する場合を考えます。そんの場合、波動関数は、

$\mid \Psi \rangle = \sum_{j}e^{-i/\hbar E_j t}b_j(t)\mid j \rangle \tag{1}$

となります。ここで ℏ はディラック定数で、プランク定数を 2𝜋 で割ったものです。シュレディンガー方程式を簡略化して、

\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 0 & e^{-i/\hbar(E_1-E_0)t}\langle 0\mid H_D \mid 1 \rangle \\ e^{i/\hbar(E_1-E_0)t}\langle 1 \mid H_D \mid 0 \rangle & 0 \\ \end{array} \right)=i\hbar\textbf{b}'(t) \tag{2} \end{eqnarray}

となります。非対角項は遷移相互作用です。これは遷移双極子モーメントと電磁波のベクトル内積としてあらわされます。こうして式(2)は、

\begin{eqnarray} E\left( \begin{array}{cc} 0&e^{-i/\hbar(E_1-E_0)t}cos\omega t \mu_{01} \\ e^{i/\hbar(E_1-E_0)t}cos\omega t \mu_{01}^* & 0 \\ \end{array} \right)=i\hbar\textbf{b}'(t) \tag{3} \end{eqnarray}

と改められます。

この式は回転波近似を施すことで、時間依存しない形に直せます。

指数項と外部電磁波の部分は 𝜔 =( 𝐸1 − 𝐸0)/ℏ の場合には、時間依存しない項と2𝜔に依存して時間発展する項の和になります。

後者は平均がゼロになるため寄与は無視することが可能です。そのため前者のみとします。

こうして、

\begin{eqnarray} \frac{1}{2}E\left( \begin{array}{cc} 0&\mu_{01} \\ \mu_{01}^* & 0 \\ \end{array} \right)=i\hbar\textbf{b}'(t) \tag{4} \end{eqnarray}

となります。後は通常のシュレディンガー方程式と同じです。これを解いて、

\begin{eqnarray} b_0(t)&=&cos\frac{E \mid \mu_{01} \mid}{2\hbar}t \\ b_1(t)&=&sin\frac{E \mid \mu_{01} \mid}{2\hbar}t \tag{5} \end{eqnarray}

となります。

シミュレーションとその結果:

これらのものはblueqatで容易にシミュレーション可能です。

1量子ビット系においては $𝜎 _0 ^𝑥 𝐸 ∣ 𝜇_{ 01 } ∣ / 2$ をこの記事の時間発展ゲートによって量子ビットに印加するだけです。